Intervallsymmetrie

Heraklit schimpfte über Pythagoras, sein Wissen, mit dem er sich brüstete, habe er auf seinen Reisen nach Ägypten dort von den gelehrten Priestern erhalten (B81 & B129).

Pythagoras hat nicht aufgeschrieben, was er hinter einem Vorhang seinen Schülern verkündete. Heute würden wir ihn einen Guru nennen. Umso wirksamer konnte er seine Zuhörer überzeugen, dass alle Erkenntnis über das, was ist, mit Zahlen zusammenhängt. Die Faszination der von ihm verkündeten Zahlenwelt wirkt noch heute: Unsere westlich-abendländische Musiktheorie basiert immer noch auf den Zahlenverhältnissen, die er den Tonintervallen zugrunde legte. Sie sind keine beliebigen Erfindungen seines Geistes, sie finden sich in den Resonanzen der von uns so genannten Obertöne. Die Physik der Resonanzen innerhalb einer Oktave erkannte er als einfache in Brüchen bezifferte Verhältniszahlen. Als Beispiel hier eine Liste der heute noch gültigen chromatischen (d.h. aus Halbtönen bestehenden) Naturtonreihe.

Die Frequenzen der unten notierten Töne einer Oktave sind bezogen auf den Kammerton a‘= 432 Hz.
Warum 432 Hz für den Stimmton a‘?
In Stimmkonferenzen von Musikern, zuletzt 1939 in London, einigten sich die Beteiligten auf 440 Hz. Anfang des 19. Jhdts. machte der deutsche Physiker und Astronom Chladni einen Vorschlag, der auf dem Sekundenpendel (1 Sekunde/Schwingung) beruhte. Seine Frequenz = 1 Hz,  8 x oktaviert = 512 Hz schlug er vor für das 2 gestrichene c (c“) und eine kleine (pythagoräische) Terz tiefer 432 Hz für den Stimmton a‘. Diese physikalisch aus der Tageszeit (60 x 60 x 24 sec) abgeleiteten  Frequenzen erzeugen wie unten gezeigt in der pythagoräischen Naturtonreihe eine Wellenlänge von 120 cm für die Prime, einem Maß, das 2 Oktaven höher unserem Fußmaß von 30 cm entspricht, einem weit verbreiteten Rastermaß im heutigen Bauen.

Produkt
Intervall Verhältnis Hz Ton d. Verh. Ton Hz Verhältnis Intervall
Prime 1/1 288 d‘

2

d“ 576 2/1 Oktave
kl. Sekunde 16/15 307,2 es‘

2

cis“ 540 15/8 gr. Septime
gr. Sekunde 9/8 324 e‘

2

c“ 512 16/9 kl. Septime
kl. Terz 6/5 345,6 f‘

2

h‘ 480 5/3 gr. Sexte
gr. Terz 5/4 360 fis‘

2

b‘ 460,8 8/5 kl. Sexte
Quarte 4/3 384 g‘

2

a‘ 432 3/2 Quinte
Tritonus 2/Wurzel(2) 407,29 gis‘

2

as‘ 407,29 2/Wurzel(2) Tritonus

Das Faszinierende daran ist die Symmetrie der in der Tabelle gegenübergestellten Komplementärintervalle mit deren Frequenzen von Prime zu Quarte und Quinte zu Oktave deren Produkt der Verhältnisse alle den Wert 2 ergeben. Ein reziprokes Ergebnis errechnet sich aus der Tabelle der Wellenlängen der gleichen Oktave mit dem Wert ½.

Wellenlängen der Tonschwingungen einer Oktave bezogen auf die Länge von 4 Fuß = 1.200 mm für die Prime

Produkt
Intervall Verhältnis mm Ton d. Verh. Ton mm Verhältnis Intervall
Prime 1/1 1200 d‘  1/2 d“ 600  1/2 Oktave
kl. Sekunde 15/16 1125 es‘  1/2 cis“ 640   8/15 gr. Septime
gr. Sekunde 8/9 1066,667 e‘  1/2 c“ 675   9/16 kl. Septime
kl. Terz 5/6 1000 f‘  1/2 h‘ 720  3/5 gr. Sexte
gr. Terz 4/5 960 fis‘  1/2 b‘ 750  5/8 kl. Sexte
Quarte 3/4 900 g‘  1/2 a‘ 800  2/3 Quinte
Tritonus Wurzel(2)/2 848,5281 gis‘  1/2 as‘ 848,5281 Wurzel(2)/2 Tritonus

Was Pythagoras noch nicht benennen konnte, war ein Zahlenwert für das Intervall zwischen Quarte und Quinte. Erst ein Schüler von Pythagoras, Hippasos von Metapont, erklärte das Vorhandensein von irrationalen Zahlen, d.h. Zahlenwerte, die sich nicht mit einem Bruch aus ganzen Zahlen bemessen lassen. Dieser Wert, der auch als Halboktave bezeichnet wurde, müsste mit sich selber multipliziert den Faktor 2 oder reziprok ½ ergeben. Das ist in unserer Schreibweise die Wurzel aus 2.

Dafür gab es Annäherungswerte, die von Pythagoras-Apologeten in großzahligen Brüchen (45/32, 729/512, 1024/729) berechnet wurden. (Die Wellenlänge ließe sich geometrisch sehr einfach als Diagonale im Quadrat mit den Seitenlängen der Prime darstellen.) Diese exakte Mitte der chromatischen Tonleiter einer Oktave, wurde entsprechend einem Intervall, das drei Ganztöne überspannt Tritonus genannt. Pythagoras machte es sich einfach, für ihn gab es diesen Ton nicht.

In der Musikgeschichte späterer Zeiten spielte dieser Ton eine seltsame Rolle. Seine Eigenschaft ihn nicht als Oberton erzeugen zu können, hatte zur Folge, dass er als diabolus in musica oder als passus duriusculus bezeichnet wurde. Mit dem letztgenannten Wort sollte das Übertreten einer Grenze, das Erreichen von Unmöglichem ausgedrückt werden. Das interessierte im Mittelalter die Alchemisten, die nach einer Lösung von scheinbar unmöglichen Verwandlungen suchten. Was sie für diesen Ton wissen wollten, war die quinta essentia, die Erkenntnis dieses mystifizierten Tons zwischen Quarte und Quinte, der sich als Intervall auch so unharmonisch-teuflisch anhörte. Wenn wir Heutigen nach der Quintessenz befragt würden, hätten wir es einfach. Sie heißt Wurzel 2.

Wir haben nun die Symmetrie der Intervalle einer Oktave als mathematische Grundform der Entwicklung der Tonreihen in der abendländischen Musik vor Augen. Ihre Schönheit kann uns – ergänzt um ein Missing link – wie die Jünger des Pythagoras im Geist beleben.

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