Intervallsymmetrie

Heraklit schimpfte über Pythagoras, sein Wissen, mit dem er sich brüstete, habe er auf seinen Reisen nach Ägypten dort von den gelehrten Priestern erhalten (B81 & B129).

Pythagoras hat nicht aufgeschrieben, was er hinter einem Vorhang seinen Schülern verkündete. Heute würden wir ihn einen Guru nennen. Umso wirksamer konnte er seine Zuhörer überzeugen, dass alle Erkenntnis über das, was ist, mit Zahlen zusammenhängt. Die Faszination der von ihm verkündeten Zahlenwelt wirkt noch heute: Unsere westlich-abendländische Musiktheorie basiert immer noch auf den Zahlenverhältnissen, die er den Tonintervallen zugrunde legte. Sie sind keine beliebigen Erfindungen seines Geistes, sie finden sich in den Resonanzen der von uns so genannten Obertöne. Die Physik der Resonanzen innerhalb einer Oktave erkannte er als einfache in Brüchen bezifferte Verhältniszahlen. Als Beispiel hier eine Liste der heute noch gültigen chromatischen (d.h. aus Halbtönen bestehenden) Naturtonreihe.

Frequenzen der Töne einer Oktave bezogen auf den Kammerton a‘= 432 Hz

       

Produkt

       

Intervall

Verhältnis

Hz

Ton

d. Verh.

Ton

Hz

Verhältnis

Intervall

Prime

1/1

288

d‘

2

d“

576

2/1

Oktave

kl. Sekunde

16/15

307,2

es‘

2

cis“

540

15/8

gr. Septime

gr. Sekunde

9/8

324

e‘

2

c“

512

16/9

kl. Septime

kl. Terz

6/5

345,6

f‘

2

h‘

480

5/3

gr. Sexte

gr. Terz

5/4

360

fis‘

2

b‘

460,8

8/5

kl. Sexte

Quarte

4/3

384

g‘

2

a‘

432

3/2

Quinte

Tritonus

2/Wurzel(2)

407,29

gis‘

2

as‘

407,29

2/Wurzel(2)

Tritonus

Das Faszinierende daran ist die Symmetrie der in der Tabelle gegenübergestellten Komplementärintervalle mit deren Frequenzen von Prime zu Quarte und Quinte zu Oktave deren Produkt der Verhältnisse alle den Wert 2 ergeben. Ein reziprokes Ergebnis errechnet sich aus der Tabelle der Wellenlängen der gleichen Oktave mit dem Wert ½.

Wellenlängen der Tonschwingungen einer Oktave bezogen auf die Länge von 4 Fuß = 1.200 mm für die Prime

       

Produkt

     

Intervall

Verhältnis

mm

Ton

d. Verh.

Ton

mm

Verhältnis

Intervall

Prime

1/1

1200

d‘

 1/2

d“

600

 1/2

Oktave

kl. Sekunde

15/16

1125

es‘

 1/2

cis“

640

  8/15

gr. Septime

gr. Sekunde

8/9

1066,667

e‘

 1/2

c“

675

  9/16

kl. Septime

kl. Terz

5/6

1000

f‘

 1/2

h‘

720

 3/5

gr. Sexte

gr. Terz

4/5

960

fis‘

 1/2

b‘

750

 5/8

kl. Sexte

Quarte

3/4

900

g‘

 1/2

a‘

800

 2/3

Quinte

Tritonus

Wurzel(2)/2

848,5281

gis‘

 1/2

as‘

848,5281

Wurzel(2)/2

Tritonus

Was Pythagoras noch nicht benennen konnte, war ein Zahlenwert für das Intervall zwischen Quarte und Quinte. Erst ein Schüler von Pythagoras, Hippasos von Metapont, erklärte das Vorhandensein von irrationalen Zahlen, d.h. Zahlenwerte, die sich nicht mit einem Bruch aus ganzen Zahlen bemessen lassen. Dieser Wert, der auch als Halboktave bezeichnet wurde, müsste mit sich selber multipliziert den Faktor 2 oder reziprok ½ ergeben. Das ist in unserer Schreibweise die Wurzel aus 2.

Dafür gab es Annäherungswerte, die von Pythagoras-Apologeten in großzahligen Brüchen (45/32, 729/512, 1024/729) berechnet wurden. (Die Wellenlänge ließe sich geometrisch sehr einfach als Diagonale im Quadrat mit den Seitenlängen der Prime darstellen.) Diese exakte Mitte der chromatischen Tonleiter einer Oktave, wurde entsprechend einem Intervall, das drei Ganztöne überspannt Tritonus genannt. Pythagoras machte es sich einfach, für ihn gab es diesen Ton nicht.

In der Musikgeschichte späterer Zeiten spielte dieser Ton eine seltsame Rolle. Seine Eigenschaft ihn nicht als Oberton erzeugen zu können, hatte zur Folge, dass er als diabolus in musica oder als passus duriusculus bezeichnet wurde. Mit dem letztgenannten Wort sollte das Übertreten einer Grenze, das Erreichen von Unmöglichem ausgedrückt werden. Das interessierte im Mittelalter die Alchemisten, die nach einer Lösung von scheinbar unmöglichen Verwandlungen suchten. Was sie für diesen Ton wissen wollten, war die quinta essentia, die Erkenntnis dieses mystifizierten Tons zwischen Quarte und Quinte, der sich als Intervall auch so unharmonisch-teuflisch anhörte. Wenn wir Heutigen nach der Quintessenz befragt würden, hätten wir es einfach. Sie heißt Wurzel 2.

Wir haben nun die Symmetrie der Intervalle einer Oktave als mathematische Grundform der Entwicklung der Tonreihen in der abendländischen Musik vor Augen. Ihre Schönheit kann uns – ergänzt um ein Missing link – wie die Jünger des Pythagoras im Geist beleben.